В планах: курсы по другим разделам математики и Data Science, обзоры ML фреймворков и многое другое
Свежие исследования и тренды в математике, включая Data Science
Новости о наших открытых курсах
Обзоры околоматематических вакансий
Истоки вычислительной математики
Истоки вычислительной математики
Истоки вычислительной математики
Абсолютная и относительная погрешности
Определение: абсолютная погрешность
Абсолютной погрешностью приближенного значения $a^*$ называют величину $\Delta(a^*)$, которая определена как
$$
\Delta(a^*) = |a^* - a|,
$$
где $a$ – точное значение.
Определение: относительная погрешность
Относительной погрешностью приближенного значения $a^∗$ называют величину $\delta(a^*)$, которая определена как
$$
\delta(a^*) = \left|\frac{a^* - a}{a}\right|
$$
Неустранимая погрешность
Определение: неустранимая погрешность
Неустранимой погрешностью называют неточность при задании исходных данных.
Погрешность математической модели
Определение: погрешность математической модели
Погрешностью математической модели называют неточность при описании реального объекта
математическими понятиями.
Простейшая математическая модель – свободное падение:
$$
m \frac{d^2 x}{dt^2} = -m g
$$
Более точная модель включает сопротивление воздуха:
$$
m \frac{d^2 x}{dt^2} = -m g - A \text{sign} \left(\dfrac{dx}{dt}\right) \dfrac{dx}{dt}^2
$$
Погрешность метода
Определение: погрешность метода
Погрешностью метода называют неточность при замене математической модели приближенной.
Уравнения 1 и 2 можно решить численно
Погрешность метода: разница между численным решением (например, с помощью метода Рунге-Кутта) и аналитическим решением
Числа с конечной точностью приводят к вычислительной неустойчивости
О языках программирования и библиотеках
Python
Работа с матрицами и векторами: numpy
Коллекция численных методов: scipy
Fortran
Работа с матрицами и векторами: native + BLAS/LAPACK/ScaLAPACK
Коллекция численных методов: SLATEC
Нелинейные уравнения и МНК: MINPACK
C++
Работа с матрицами и векторами: BLAS/LAPACK/ScaLAPACK, Eigen
Коллекция численных методов: Intel MKL, Trilinos, GNU Scientific Library
Быстрое преобразование Фурье: FFTW
C++23: mdspan, Standard C++ Linear Algebra Library
Метрическое пространство
Определение: метрическое пространство
Множество $X$ называется метрическим пространством, если на нем определена функция $\rho: X \times X \longrightarrow \mathbb{R}$,
называемая метрикой или расстоянием, для которой выполняются следующие аксиомы:
Сходимость в метрических пространствах
Сходящаяся последовательность
Последовательность $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ метрического пространства $(X, \rho)$ называется сходящейся к элементу $x \in X$, если для нее верно
$$
n \to \infty \Longrightarrow \rho(x_n, x) \to 0.
$$
Фундаментальная последовательность
Последовательность $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ метрического пространства $(X, \rho)$ называется фундаментальной, если
$$
\forall \epsilon > 0\ \exists k(\epsilon): \rho(x_n, x_m) < \epsilon, n, m > k.
$$
Полное метрическое пространство
Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов
сходится к элементу того же пространства.
Линейное нормированное пространство
Определение: линейное нормированное пространство
Линейным нормированным пространством называется пара $(X, ||\cdot||)$, где $X$ – линейное пространство,
а $||\cdot||: X \longrightarrow \mathbb{R}$ – норма, удовлятворяющая следующим аксиомам:
$||x|| \geq 0$,
$||x|| = 0 \Longleftrightarrow x = 0$,
$||\lambda x|| = |\lambda| \cdot ||x||$,
$||x_1 + x_2|| \leq ||x_1|| + ||x_2||$,
где $x \in X$.
Линейное нормированное пространство является метрическим пространством с метрикой $\rho(x_1, x_2) = ||x_1 - x_2||$.
Банахово пространство
Определение: банахово пространство
Банаховым пространством называется полное линейное нормированное пространство.
Пример: $(\mathbb{R}, |\cdot|)$, где нормой является модуль числа.
Банаховы пространства и соответствующие им нормы играют важную роль в численных методах, так что мы рассмотрим внимательно несколько самых важных банаховых пространств.
Конечномерное нормированное пространство
Определение: конечномерное нормированное пространство
Конечномерным нормированным пространством $l_p^{(n)}$ называется пара $(X, ||\cdot||_p)$, где $X$ –
множество векторов $\boldsymbol{x} = (x_1, ..., x_n)$ в $n$-мерном линейном пространстве и норма определена функцией
$$
||\boldsymbol{x}||_p = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}.
$$
Эвклидово пространство $\mathbb{R}^n$ является частным случаем конечномерного нормированного пространства: $l_2^{(n)}$.
Cходимость в одной из норм $||\cdot||_p$ гарантирует сходимость во всех остальных нормах этого типа.
Бесконечномерное нормированное пространство
Определение: бесконечномерное нормированное пространство
Бесконечномерным нормированным пространством $l_p$ называется пара $(X, ||\cdot||_p)$, где $X$ –
множество векторов $\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, ...)$, каждый из которых является в свою очередь счетным множеством,
и норма определена функцией
$$
\label{eq:inf_norm_space}
||\boldsymbol{x}||_p = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}.
$$
Почему функции называют бесконечномерными векторами?
Функции, с которыми мы чаще всего имеем дело, являются бесконечномерными векторами с несчетным числом элементов.
Рассмотрим следующий $(n+1)$-мерный вектор:
$$
\boldsymbol{f} = [f_0, f_1, \dots, f_n]^T, \quad \text{где } f_j = \sin \frac{2\pi j}{n}
$$
При $n \to \infty$ вектор $\boldsymbol{f}$ восстанавливает функцию $\sin x$ на отрезке $[0; 2\pi]$:
Лебегово пространство
Определение: лебегово пространство
Лебеговым пространством $L_p$ называется пара $(F, ||\cdot||_p)$, где $F$ – множество функций $x(t)$, $p$-я степень которых интегрируема на отрезке $[a, b]$, и норма определена функционалом
$$
||x(t)||_p = \left(\int_a^b |x(t)|^p dt \right)^{1/p}.
$$
Пространство $L_2$ называют гильбертовым, а его норму $||\cdot||_2$ среднеквадратичной.
Норму $||x(t)||_\infty = \max_{t \in [a; b]} |x(t)|$ называют равномерной или чебышевской.
Сходимость в среднем и равномерная сходимость
Для норм верны следующие соотношения:
$$
||x(t)||_1 \leq ||x(t)||_2 \leq ... \leq ||x(t)||_\infty,
$$
$\Longrightarrow$ из равномерной сходимости следует сходимость в среднем, но не наоборот:
На левом рисунке функция $f_i(x)$ сходится к $f(x)$ и равномерно и в среднем. На правом рисунке наблюдается только сходимость в среднем.
Пространство непрерывных функций
Определение: пространство непрерывных функций
Пространством непрерывных функций $C[a, b]$ называется пара $(F, ||\cdot||_C)$, где $F$ – множество функций,
непрерывных на отрезке $[a, b]$, а $||x||_C = \max_{t \in [a, b]}|x(t)|$ – равномерная норма.
Непрерывность также распространяется на производные функции:
Пространство непрерывных функций также обозначают $C^0[a, b]$.
Пространством $C^p[a, b]$ называют пространство функций, $p$-я производная которых непрерывна.
Гладкой называют функцию, имеющую столько непрерывных производных, сколько необходимо для решения данной задачи.
Бесконечно гладкие функции называют аналитическими – такие функции можно представить в виде бесконечной суммы ряда Тейлора.