Заметим, что:

• Порядок точности формулы Симпсона – $O(h^5)$.
• Используется всего три узла.
• Это объясняет популярность формулы Симпсона

Порядок точности может резко упасть при недостаточной гладкости функции:

• Остаточный член пропорционален $f^{(4)}(\xi)$.
• Ограничение на функцию: $f(x) \in C^{m}[a; b], m \geq 4$.

Составная формула Симпсона Составная формула Симпсона

Доказательство Рассмотрим линейную комбинацию: \begin{equation*} P(x) = \sum_{i=0}^n c_i \phi_i(x). \end{equation*} Пусть коэффициенты $c_i$ имеют такие значения, что $P(x) = 0$. Тогда заметим, что:

• $P(x)$ является полиномом степени $n$.
• $P(x) = 0 \Longrightarrow$ коэффициенты при всех степенях $x^i, i = 0,\dots, n$ равны нулю.
• Только $\phi_n(x)$ содержит $x^n$ $\Longrightarrow c_n = 0$.

В результате мы получаем: \begin{equation*} P(x) = \sum_{i=0}^{n-1} c_i \phi_i(x). \end{equation*} Продолжая эту логику, получаем $c_0 = \dots = c_n = 0$ $\Longrightarrow$ $\{\phi_i\}_{i=0}^{n}$ линейно независимая. Доказательство Разложим $P_k(x)$ в линейную комбинацию полиномов $\phi_i(x)$: \begin{equation*} P_k(x) = \sum_{i=0}^k c_i \phi_i(x). \end{equation*} Тогда: \begin{equation*} \int_a^b \omega(x) \phi_n(x) P_k(x) dx = \sum_{i=0}^k c_i \int_a^b \omega(x) \phi_n(x) \phi_i(x) dx = 0. \end{equation*} Доказательство Доказательство