Доказательство Доказательство Вывод Вывод Метод сопряженных градиентов задается следующими рекурсивными уравнениями: \begin{align*} t_k &= \frac{\langle \boldsymbol{r}^{(k-1)}, \boldsymbol{r}^{(k-1)} \rangle}{\langle \boldsymbol{v}^{(k)}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{v}^{(k)} \rangle}, \\ \boldsymbol{x}^{(k)} &= \boldsymbol{x}^{(k-1)} + t_k \boldsymbol{v}^{(k)}, \\ \boldsymbol{r}^{(k)} &= \boldsymbol{r}^{(k-1)} - t_k \boldsymbol{A} \boldsymbol{v}^{(k)}, \\ s_k &= \frac{\langle \boldsymbol{r}^{(k)}, \boldsymbol{r}^{(k)} \rangle}{\langle \boldsymbol{r}^{(k-1)}, \boldsymbol{r}^{(k-1)} \rangle}, \\ \boldsymbol{v}^{(k+1)} &= \boldsymbol{r}^{(k)} + s_k \boldsymbol{v}^{(k)}, \end{align*} с начальными условиями:

• начальное приближение $\boldsymbol{x}^{(0)}$;
• $\boldsymbol{r}^{(0)} = \boldsymbol{b} - \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}^{(0)}$;
• $\boldsymbol{v}^{(1)} = \boldsymbol{r}^{(0)}$.