Локальная интерполяция

До этого момента мы рассматривали глобальную интерполяцию, т.е. интерполяцию одной аппроксимирующей функцией по всему отрезку $[a; b]$. При обсуждении многочленов Лагранжа мы выяснили, что увеличение степени интерполирующего полинома может приводить к паразитным осцилляциям рядом с границами отрезка. Увеличение степени в свою очередь является результатом увеличения количества узлов интерполяции. Одним из выходов из этого положения является локальная интерполяция, где мы делим отрезок $[a; b]$ на маленькие подотрезки и используем интерполяцию полиномом малой степени на каждом из этих подотрезков, после чего ``склеиваем'' полученное множество полиномов в единую функцию, заданную на всем отрезке $[a; b]$. Такую интерполяцию называют кусочной интерполяцией. Самым простым случаем локальной интерполяции является кусочно-линейная интерполяция, где между каждой парой точек строится линейная функция, соединяющая их. Пример подобной интерполяции показан на рисунке ниже. Очевидным недостатком кусочно-линейной интерполяции является отсутствие гладкости, так как результирующая интерполирующая функция принадлежит $C^0[a; b]$ и, соответственно, имеет прерывную первую производному. Более того, увеличение степени интерполяционных многочленов (что приводит, например, к кусочно-квадратичной интерполяции, кусочно-кубической интерполяции и т.д.) не исправляет эту ситуацию. Проблема гладкости в кусочной интерполяции решается с помощью введения дополнительных условий на значения интерполяционных многочленов в узлах, а именно, условий равенства их производных. На практике самым распространенным случаем является равенство первых и вторых производных в узлах, что требует использования кубических интерполяционных многочленом между парами узлов. Подобная интерполяция называется интерполяцией кубическими сплайнами. Пусть функция $f(x)$ задана в $n$ интерполяционных узлах $a = x_1, x_2$, $\dots$, $x_n = b$ на отрезке $[a; b]$. Тогда кубическим сплайном для функции $f(x)$ называется функция $S(x)$, для которой верно:

1. $S(x)$ кусочно задана кубическими многочленами $S_i(x)$ на каждом отрезке $[x_i; x_{i+1}]$, $i = 1, \dots, n-1$;
2. $S_i(x_i) = f(x_i)$ и $S_i(x_{i+1}) = f(x_{i+1})$, $i = 1, \dots, n-1$;
3. значения смежных многочленов совпадают в общих узлах: $S_i(x_{i+1}) = S_{i+1}(x_{i+1})$, $i = 1, \dots, n-2$;
4. значения первых производных смежных многочленов совпадают в общих узлах: $S_i^\prime(x_{i+1}) = S_{i+1}^\prime(x_{i+1})$, $i = 1, \dots, n-2$;
5. значения вторых производных смежных многочленов совпадают в общих узлах: $S_i^{\prime \prime}(x_{i+1}) = S_{i+1}^{\prime \prime}(x_{i+1})$, $i = 1, \dots, n-2$;
6. заданы граничные условия:
• естественные граничные условия: $S''(x_1) = S''(x_n) = 0$;
• граничные условия на касательную: $S'(x_1) = f'(x_1)$ и $S'(x_n) = f'(x_n)$;

Так как кубический многочлен задается $4$ константами, для задания кубического сплайна нам необходимо определить $4(n-1)$ констант. Сделаем это в общем виде. Запишем кубический многочлен $S_i(x)$ на отрезке $[x_i, x_{i+1}]$ в форме что автоматически дает Тогда из условия равенства значений смежных многочленов в общих узлах имеем: где $h_i = x_{i+1} - x_i$. Так как $S_i^\prime(x_i) = b_i$, из условия равенства значений первых производных в общих узлах смежных многочленов получаем: Наконец, из условия для второй производной имеем: где $c_i = \frac{S_i^{\prime\prime}(x_i)}{2}$. Из последнего уравнения выразим $d_i$ через $c_i$: Подставив его в выражение для $a_{i+1}$, имеем: Аналогично получаем для $b_{i+1}$: Чтобы получить замыкание для $c_i$, выраженное через $a_i = f(x_i)$, мы подставляем $b_i$ и $b_{i+1}$, выраженное из \eqref{eq:spl_a_ii} в уравнение \eqref{eq:spl_b_ii}, записанное для $b_{i}$, что дает Теперь мы можем составить систему уравнений относительно $c_i$, решив которую можно вычислить недостающие коэффициенты $d_i$ и $b_i$ по формулам \eqref{eq:spl_di_def} и \eqref{eq:spl_bi_def} соответственно. Система уравнений и доказательство единственности ее решения для случая естественных граничных условий рассматриваются в следующей теореме.